ریاضی دهم ویژۀ استعدادهای درخشان مؤلف: حجت انصاری محمدصالح ارشاد

Transcript

1 مجموعه کتاب های عالمه حلی ریاضی دهم ویژۀ استعدادهای درخشان مؤلف: حجت انصاری محمدصالح ارشاد

2 : ارشاد سیدمحمدصالح 1365 سرشناسه : ریاضی دهم ويژه استعدادهای درخشان عنوان و نام پديدآور : تهران: انتشارات حلی 1395 مشخصات نشر : 9 ٢ س م. ١: مصور )رنگی( جدول )رنگی( نمودار )رنگی( ص 16 مشخصات ظاهری : مجموعه کتاب عالمهحلی فروست : شابک : فيپای مختصر وضعيت فهرستنويسی : )فهرستنويسی کامل اين اثر در نشانی : قابل دسترسی است( يادداشت : انصاری حجت 1359 شناسه افزوده : ۴۴٠٨۵٨۵ شماره کتابشناسی ملی شناسنامه کتاب ریاضی دهم ويژه استعدادهای درخشان عنوان کتاب انتشارات حلی ناشر حجت انصاری محمدصالح ارشاد مؤلف شیوا دلوچی مسئولهماهنگی سعید شمس طراح جلد محمدحسین صفدریان تصویرساز راضیه سادات فرهانیان صفحهآرا عاطفه قلیچخانی رسام آزاده مهری حروفنگار 1395 سال چاپ اول نوبت چاپ 6000 جلد شمارگان تومان قیمت شماره شابک تهران خیابان انقالب میدان فردوسی ابتدای کوچه براتی پالک 16 واحد 14 تلفن دفتر مرکزی: کلیه حقوق این اثر برای ناشر محفوظ است. هیچ شخص حقیقی یا حقوقی حق برداشت تمام یا قسمتی از اثر را به صورت چاپ فتوکپی و جزوه ندارد. متخلفان به موجب بند 5 از ماده قانون حمایت از ناشران تحت پیگرد قانونی قرار میگیرد.

3 پیشگفتار به نام خدا چنـد سـال پيـش تعـدادی از معلمـان بـا دغدغـه «آمـوزش اسـتعدادهای درخشـان» دورهم جمع شـدند و موسسـه عالمه حلـي را تأسـیس کردنـد. ايـن معلم هـا ـ کـه خودشـان از دانش آموختـگان مـدارس اسـتعدادهاي درخشـان شـهر تهـران می باشـند ـ سـال ها در مـدارس سـمپاد (سـازمان ملـی پـرورش اسـتعدادهای درخشـان) بـه دنبـال پياده سـازي روش هـاي جديـد و مؤثـر آمـوزش بوده انـد و درنهایـت تصميم گرفتند تـا نتیجه ايـن تجربيات را در موسسـه عالمه حلـي در اختيار ديگر فعـاالن در عرصـه آمـوزش بگذارند. مجموعـه کتاب هـاي انتشـارات عالمه حلـی يکـي از محصـوالت ايـن تلاش جمعـي اسـت. در ايـن کتاب هـا تالش شـده اسـت تـا عالوه بـر تأمیـن محتـواي مناسـب بـراي دانش آمـوزان برتـر کشـور روش هـاي جديدتـر و مؤثرتر آموزشـي هم در انتقـال ايـن محتـوا بـه کار گرفته شـده و پیاده سـازی شـود. در پس این کتاب هـا سـاعت ها کار فکری برای انتخاب سـاختار و شـیوه تدویـن صـرف شـده اسـت. فعـال کـردن دانش آمـوز در روند آمـوزش و ارجـاع او بـه انجـام مشـاهدات فعاليت ها و آزمايش هـاي مناسـب بـراي انتقـال مفاهيم آموزشـي و همچنيـن ترغيب دانش آمـوز برای مراجعـه به منابع گسـترده تر چون سـايت هاي علمـي اينترنتـي و نرم افزارهـاي آموزشـي از ويژگي هاي اين سيسـتم آموزشـي اسـت. عالوه بر ايـن براي کمک بـه فراینـد تدریـس معلميـن عزيز محصـوالت جانبي چون متـن راهنماي تدريـس کتاب محتـواي الکترونيـک و... در کنار هـر کتاب توليد شـده اسـت. مجموعـه کتاب هـاي عالمه حلـي بـا همـکاري جمـع زيـادي از مؤلفيـن و معلمـان باتجربـه مـدارس سـمپاد ـ کـه به دقـت انتخـاب شـده اند ـ تألیـف و ویرایـش گردیـده اسـت امـا آرزوي مـا در اين مؤسسـه اين اسـت کـه از حضور تمامـي معلمان دلسـوز و باتجربـه مـدارس سـمپاد و ديگـر مراکـز آموزشـي برتـر کشـور عزيزمـان در تأليـف کتاب هـا و ديگـر محصـوالت آموزشـي بهـره ببريـم بنابرایـن از شـما دبیـران عزیـز خواهشـمنديم تجربه هـاي خـود را در زمینـه اسـتفاده از ايـن کتاب و آمـوزش آن در کالس بـراي مـا بـه آدرس الکترونيـک : ارسـال فرماييـد تـا مـا در چاپ هـاي بعدي کتـاب از تجربيـات نظـرات و حتـي تصاويـر ارسـالي شـما در انجـام آزمايش هـا فعاليت ها بازديدهـا و... در کتـاب ـ و البته بـا ذکـر نـام ارسـال کننده ـ اسـتفاده کنيـم. البتـه دانش آمـوزان خـوب و پرتالش هـم مي توانند در ايـن کار همـکاري کنند و بـا معلمیـن خـود در اجـراي اين طـرح همراه شـوند. عابدی جعفری مدیر انتشارات حلی

4 قبل از شروع به مطالعۀ کتاب این قسمت را بخوانید : وقتی شروع به خواندن این کتاب کنید با بخش های مختلفی مواجه می شوید که غالب ا یک الک پشت متفاوت برای هرکدام وجود دارد که هریک از این بخش ها از شما انتظار داریم کار متفاوتی انجام دهید. این قسمت ها براساس تئوری های نوین آموزش و تجارب موفق تدریس برای آموزش دانش آموزان مستعد طراحی شده است. این بخش ها شامل : درخت دانش : در صفحه دوم هر فصل نموداري رسم شده تا به شما کمک کند در کمترین حجم مطالب علمي فصل و چگونگی تقسيم بندي و ارتباط آن ها را با هم درک کنید. درواقع اين بخش نقشه اي است براي گم نشدن در موضوعات علمي. اهداف رفتاری : بعد از درخت دانش چند جمله نوشته شده که نوبت بازی : خیلی وقت ها موضوعات درسی اساس یک بازی هستند و یا می شود برای یادگرفتن آن ها از یک بازی استفاده کرد. در نوبت بازی درواقع هم درس می خوانیم و هم بازی می کنیم جمع بندی کن : در انتهاي فصل براي يک جمع بندي سريع مي توان از اين قسمت کمک گرفت. در این قسمت با هم فصل را از اول کار معلوم کند این فصل را می خوانیم که چه بشود. خوب جمع می کنیم و نکات و مطالب مهم را برای خود تکمیل می کنیم. که در این بخش گفته انجام دهیم یا نه! تصحیح کن : یک بار هم خودمان را جای معلم ها بگذاریم و برگه است در آخر فصل هم برگردیم و ببینیم آیا می توانم کارهایی را تصحیح کنیم. این قسمت یک برگه امتحانی با جواب است که برخی از پاسخگو باش : در اين قسمت بايد پاسخگوی مطالبی که تا اینجا جواب ها دارای غلط و اشتباه است. برگه را تصحیح کنید و نمره دهید. درس تا آن قسمت بتوانید باکمي فکر کردن به آن ها جواب دهید. لغت نامه : ما دانش آموزان مستعد و متفاوت (!) دوست داریم بتوانیم خوانده اید باشید. پاسخگوي سؤاالتي که انتظار مي رود بعد از خواندن فسفر بسوزان : شاید الزم باشد مقدار بیشتری از مغز خودمان عالوه بر مطالب درسی جستجویی هم بکنیم و ببینیم در دنیا درباره موضع درسی ما چه چیزی وجود دارد. برای همین در پایان هر فصل استفاده کنیم و قدری فسفر ذخیره شده را بسوزانیم. البته اگر لغات مهم با معادل انگلیسی آن آورده شده است. از فسفر بسوزانیدها را خود مولفان هم بلد نیستند جواب دهند! تمرین ها : در آخر هر فصل تمرين هاي مرتبط با آن آورده شده نتوانستید به سواالت این بخش جواب دهید افسرده نشوید برخی کنکاشکن : همه يادگیری در زمان کالس اتفاق نمي افتد. گاهي الزم است راجع به يک موضوع خارج از فضای کالس تحقيق کنیم و نتيجه آن را در کالس ارائه دهیم. کتابخانه خانواده دوستان است. تعداد تمرين ها وقت الزم براي انجام آن ها تعداد سؤاالت سخت و آسان و نوع سؤاالت کام ال محاسبه شده پس خیالتان راحت که همه را می توانید انجام دهید. سواالت سخت با ستاره مشخص شده اگر این سواالت را نتوانستید حل کنید خیلی به اینترنت و... منابعی هستند که برای این کار میتوانیم استفاده کنیم. خودتان آسیب نزنید! دست به کارشو : در موضوعات علمي مخصوص ا علوم تجربي پرسش های چهارگزینه ای : سؤاالت چهارگزينه اي يا همان يادگيري باکيفيت بدون انجام آزمايش مشاهده و ساخت وسايل علمي امکان پذير نيست. در قسمت دست به کار شو نحوه انجام آزمايش تست هم در آخر هر فصل طراحی شده است. سؤاالت چهارگزينه اي با اين پيش فرض طراحي شده است که اگر نکات مربوط به سؤال را دستورالعمل ساخت وسيله و يا نوع مشاهده توضيح داده می شود. بلد باشید حداکثر در دقيقه بتوانید به آن جواب دهید. تاریخ علم : در این بخش شخصیتی در متن درس معرفی می شود پاسخ ها : پاسخ سواالت چهارگزینه ای همه فصل ها به صورت معرفی و درکنار صفحه عکس و مختصری از زندگی وی می بینید. حق مسلم ما است که حداقل قیافه این دانشمندان دوست داشتنی را ببینیم شاید در کتاب های آینده عکس شما هم اینجا قرار بگیرد! جالب است بدانی : براي افرادي که دوست دارند بيشتر از سطح استاندارد با موضوعات آشنا شوند اين قسمت توصيه مي شود. در این قسمت مطالبي آورده شده که خواندن و يادگرفتن آن الزامي نيست ولي آن قدر جذاب است که نشود به راحتي بي خيال خواندن آن شد. گزینه درست طراحی شده. جواب های نهایی سؤال ها هم برای چک کردن درستی راه حل ارائه شده است. پاسخ تشریحی تمرین های زوج به طور کامل در وب سایت کتاب به صورت رایگان قابل مشاهده است.

5

6 فصل 1 مجموعه الگو و دنباله بشر تا به حال دنبالههای زیادی را مورد بررسی قرار داده است. دنباله فیبوناتچی از دنبالههای شگفتانگیز در طبیعت است. هرجا که گذر میکنیم رد پایی از آن یافت میشود. آیا میدانید تناسب اندام اغلب جانداران منطبق بر ویژگیهای این دنباله است

7 ریاضی دهم دهی: انجام دقت به را خواستهشده کارهای و کنی مطالعه خوبی به را فصل این اگر بشناسی. را آنها بودن نامتناهی و متناهی ازجمله مجموعهها {خواص. کنی ارائه حقیقی اعداد بازه بهصورت مجموعهها از بعضی از دیگری {نمایش نمایی. تشریح را متمم {مجموعههای دهی توضیح را هندسی و حسابی معروف دنباله دو و دنبالهها مقدماتی تعاریف } } } } } 10

8 فصل اول مجموعه... مجموعه اعداد حقیقی N = { 13,,,...} سال گذشته با مجموع اعداد طبیعی آشنا شدیم: هر عضو مجموعه اعداد طبیعی از حاصل جمع تعدادی عدد 1 حاصل میشود. از اجتماع مجموعه اعداد طبیعی و عدد صفر مجموعه اعداد حسابی ایجاد میشود: از اجتماع مجموعه اعداد حسابی و قرینههای آنها اعداد صحیح ایجاد میشوند: I = W = { 01,,, 3,...} Z = { 01,, 1,,,...} Q a = a, b, b b Z 0 از تقسیم هر عدد صحیح بر عدد صحیح غیر صفر یک عدد گویا داریم: و درنهایت هر عدد حقیقی غیر گویایی یک عدد گنگ است: Q = R Q Q را نمایش دهید. لاثممث مبه کمک نمودار مجموعه اعدادN, QZ, I,, پاسخ: بازه اعداد حقیقی هر نقطه بر روی محور اعداد حقیقی متناظر با یک عدد است و برعکس. برای هر عدد حقیقی یک نقطه روی محور اعداد حقیقی نظیر میشود. مجموعة همة اعداد حقیقی بین 1 و را میتوانیم با نمادهای ریاضی بهصورت >x =A { xx R, >1 نمایش دهیم. این مجموعه شامل هر عدد گویا و گنگی بین 1 و } است. مثل 7 1/5 و 3 و بینهایت عدد دیگر. این مجموعه را بازه یا فاصله مینامیم آن را با نماد 5 ) 1( نمایش میدهیم و میخوانیم»بازه باز 1 تا «. منظور از کلمة باز این است که خود 1 و عضو نیستند. با این مقدمه تعاریف زیر را ارائه میکنیم. 11

9 ریاضی دهم بازه نامگذاری هندسی نمایش بازه نماد با نمایش مجموعه بهصورت نمایش { x x R, a< x < b} ( ab, ( باز بازة { x x R, a x b} [ ab, ] بسته بازهی { x x R, a< x b} ( ab, ] نیمباز بازة { x x R, a x < b} [ ab, ( نیمباز بازة { x x R, a< x} ( a, + ( باز بازة { x x R, a x} [ a, + ( نیمباز بازة { x x R, x < a} (, a( باز بازة { x x R, x b} (, a] نیمباز بازة { x x R} (, + ( باز بازة نیست. بازه عضو عدد آن یعنی شود استفاده پرانتز نماد از جا هر 1 است. بازه عضو عدد آن یعنی شود استفاده کروشه نماد از جا هر نمایش برای نمادهایی تنها و نیستند عدد بینهایت( )منفی یا بینهایت( )مثبت + ازآنجاکه 3 میکنیم. استفاده پرانتز از آنها برای بینهایتاند مفهوم میدهیم. نمایش R با را آن که است حقیقی اعداد مجموعه کل همان (, + ( بازة 4 روی مجموعهها اعمال پس مجموعهاند. بازهها درنتیجه است. مجموعه یک نمایش برای نمادی بازه یک مک دیگر بازهای از را بازهای یا و گرفت اشتراک یا اجتماع را بازه دو میتوان یعنی است. انجام قابل آنها بگیرید. کمک حقیقی اعداد محور از است بهتر کار این برای کرد. A = 5, 3 ماگر لاثممث آورید. بهدست را A وB A B, A B مجموعههای باشد B = (, 7] و [ ) میدهیم. نمایش را مجموعه دو این حقیقی اعداد محور روی بر ابتدا پاسخ: A B = (, 3 ( هستند. B در هم و A در هم آن اعضای که است مجموعهای بازه دو این اشتراک دارند. وجود B یا A مجموعه دو از یکی در حداقل آن اعضای که است مجموعهای بازه دو این اجتماع [, ] A B = 5 7 میآید. دست به A کنیمB حذف هستند B مجموعة با اشتراک در که اعدادی آن A مجموعة بازة از اگر [ 5, ] A B = 1

10 فصل اول مجموعه... مجموعههای متناهی و نامتناهی مجوعة متناهی: اگر تعداد عضوهای یک مجموعه را بتوان با یک عدد حسابی بیان کرد آن مجموعه را مجموعة متناهی میگوییم. مجموعه نامتناهی: اگر تعداد عضوهای یک مجموعه را نتوان با یک عدد حسابی بیان کرد آن مجموعه را مجموعة نامتناهی میگوییم. لاثممث ممتناهی و نامتناهی بودن مجموعههای زیر را مشخص کنید. الف( مجموعه اعداد صحیح کمتر از 5 ب( مجموعة مورچههای روی کره زمین ج( ] بازة 5 [ 1, پاسخ: الف( نامتناهی است. زیرا هر عدد صحیح کمتر از 5 یک عدد صحیح کوچکتر از خود دارد. مثال قبل از 1-0 است و قبل از 1- - و همین روند ادامه دارد. درنتیجه نمیتوان گفت مثال این مجموعه 1000 عضوی است! ب( متناهی است. درست است که تعداد مورچهها خیلی زیاد هستند و ما نمیتوانیم همه آنها را پیدا کنیم 10 و بشماریم! اما بههرحال تعداد مشخصی مورچه وجود دارد. مثال 10 مورچه اما ما نمیدانیم دقیقا چند مورچه روی کره زمین است. ج( نامتناهی است. ازآنجاکه بین هر دو عدد گویا بینهایت عدد گویا و بین هر دو عدد گنگ و هر عدد گویا و گنگ بینهایت عدد گویا و گنگ است تعداد اعضای هر بازهای از اعداد حقیقی نامتناهی است. از نتایج مهم ریاضی در قرن نوزدهم و بیستم و از موفقیتهای جالبتوجه نظریه مجموعهها این بوده است که ریاضیدانان این دوره برای اولین بار توانستند بهطور دقیق در مورد مفهوم نامتناهی صحبت کنند. این در حالی است که بسیاری از ریاضیدانان این حوزه از ریاضی را نامفهوم میدانستند و آن را مورد انتقادات جدی قرار میدادند. بهعنوان مثالی از کارهای انجام شده در مورد نامتناهیها به مقایسه اندازه چهار مجموعه نامتناهی )اعداد طبیعی اعداد صحیح اعداد گویا و اعداد حقیقی( میپردازیم. کانتور نشان داد که اندازه سه مجموعه اعداد طبیعی صحیح و گویا برابر است. این حرف شاید کمی عجیب به نظر برسد. چگونه اندازه مجموعه اعداد صحیح و مجموعه اعداد طبیعی برابر است درحالیکه مجموعه اعداد طبیعی زیرمجموعه مطلق مجموعه اعداد صحیح است )یعنی عضوی در اعداد صحیح هست که در اعداد طبیعی نیست و نه بالعکس( اما کانتور مدعی است که بهسادگی نمیتوان در مورد نامتناهیها قضاوت کرد. در مورد استدالل و روش کانتور در فصل پنجم بیشتر توضیح خواهیم داد. اما سؤال بسیار مهمی که در دوره کانتور مطرح شد این بود که حاال که اندازه مجموعه اعداد طبیعی صحیح و گویا برابر است آیا مجموعهای بزرگتر از این مجموعهها وجود دارد کانتور نشان داد که اندازه مجموعه اعداد حقیقی از مجموعه اعداد طبیعی بزرگتر است. اینکه آیا مجموعهای با اندازهای مابین اعداد حقیقی و اعداد طبیعی وجود دارد یا خیر از مسائل باز و جذاب ریاضی معاصر است. 13 شاید بین دو واژة ناشمارا و نامتناهی همیشه دچار تردید شدهاید. خوب است بدانید که مجموعههای شمارا و ناشمارا با مجموعههای متناهی و نامتناهی دارای تفاوتاند. مجموعههای شمارا: اگر به ازای هر عضو از مجموعة اعداد طبیعی دقیقا 1 عضو از مجموعهای موجود بوده که بین آنها تناظر وجود داشته باشد آن مجموعه را شمارا گوییم. درواقع اگر بتوان به کمک اعداد طبیعی عضوهای یک مجموعه را شمارهگذاری کرد آن مجموعه شمارا بوده و در غیر این صورت ناشمارا است.

11 ریاضی دهم دبیرستان از عالی بسیار نمره با ۱۸۶۰ در وی آمد. دنیا به در سنپترزبورگ در ۱۸۴۵ سال در کانتور اشاره مثلثات در بهویژه ریاضیات در وی استثنایی مهارتهای به آموزگارانش و شد فارغالتحصیل داد. ادامه خود مطالعات به برلین دانشگاه در سپس شد زوریخ دانشگاه وارد ۱۸۶۲ در کانتور داشتند. پایان به برلین دانشگاه در بود اعداد نظریه درباره که را خود دکتری رساله کانتور ۱۸۶۷ سال در هاله دانشگاه در شغلی برلین در دخترانه مدرسهای در تدریس کوتاه دوره یک از پس رساند. گذراند. دانشگاه همین در را خود کاری دوره تمام و پذیرفت بسوزان فسفر هستند. شمارا صحیح اعداد مجموعه دهید نشان مجموعهها عملیات شدهایم. آشنا مجموعه دو تفاضل و اشتراک اجتماع عملیات با گذشته سال در یادآوری: میکنیم. یادآوری را اعمال این زیر در تعریفاند: قابل زیر بهصورت که میکند ایجاد جدید مجموعة یک مجموعه عملگر هر است. B یا A مجموعههای از یکی حداقل در آن عضو هر که است مجموعهای : ( A )B اجتماع است. B مجموعه عضو هم و A مجموعه عضو هم آن عضو هر که است مجموعه : ( A )B اشتراک ندارد. عضویت B در که است A از عضوهایی همه مجموعة : A تفاضلB )مادر( جهانی مجموعة معموال و نامیده مادر یا جهانی مجموعه هستند آن زیرمجموعة موردبحث مجموعههای همه که مجموعهای میشود. داده نمایش وU M نماد با A = { x Mx A} حقیقیاند. اعداد معموال ما مرجع مجموعه میکنیم صحبت حقیقی اعداد زیرمجموعه هر مورد در وقتی مثال مجموعه یک متمم A با و گوییم A مجموعه متمم را باشد A مجموعه بهغیراز مرجع مجموعه عضوهای شامل که مجموعهای میدهیم: نمایش A = { x M x A} بنامیم M را آن و باشد مرجع مجموعه رقمی 1 طبیعی اعداد مجموعه ماگر لاثممث مجموعههای C= { x Mx= kk, } 3 Z و {,,, } B = A= { x Mx= k, k } Z و دهید. نمایش اعضا کمک به را زیر A C د( C ) ج B ) ب A الف( 14

12 فصل اول مجموعه... 7, { 1, 3, 5, = A A= {, 4, 6, 8} )الف 9 } 8, { 1, 4, 6, = B B = {, 3, 5, 7} )ب 9 } 7, { 1, 4, 5, = C C = { 3, 69, } )ج 8} 4, {, = C A )د 8 } پاسخ: لاثممث مهریک از مجموعههای زیر مساوی چه مجموعهای هستند پاسخ: الف( ) A ( ب ) M ج ) ' φ الف( A ( A = ( ب ) φ M = ج ) M φ= ' کل ریاضی در قالب مجموعهها یکی از تحوالت اساسی ریاضیات در دوره معاصر با ارائه نظریه مجموعهها توسط گئورگ کانتور در اواخر قرن نوزدهم رخ داد. مفهوم مجموعه و احکام آن نقش بسیار بنیادی در ریاضیات دارد بهنحویکه نظریه مجموعهها پایه و اساس ریاضیات معاصر محسوب میشود. در ابتدای قرن بیستم تالش برای فرو کاستن کل ریاضیات به نظریه مجموعهها آغاز شد. منظور از فرو کاستن در اینجا این است که بتوان کلیه احکام ریاضی در شاخههای مختلف مثل هندسه جبر و آنالیز را از اصول نظریه مجموعهها استخراج کرد. برای درک بهتر این موضوع یکی از شیوههای فرو کاستن اعداد طبیعی به مجموعهها در زیر نمایش داده شده است: 0 1 { } {{ }, } 3 {{ } } { } {,,, } و به همین ترتیب سایر اعداد بر اساس مجموعهها تعریف میشوند. با اندکی دقت در تعریف اعداد داده شده میتوان الگویی n+1 n { n} برای تعریف "جمع با 1" پیدا کرد: که در آن n یک عدد طبیعی است. بهاینترتیب اعداد چیزی نیستند بهجز مجموعههایی که بر اساس تعریف جمع ساخته میشوند. ارنست زرملو ریاضیدان آلمانی در قرن بیستم بهطور موفقیتآمیز نظریه مجموعهها را اصل موضوعی کرد و درنهایت جوزپه پئانو ریاضیدان ایتالیایی کل جبر و آنالیز را با تکیه به چند اصل موضوع متکی بر نظریه مجموعهها بازسازی کرد. از نکات مهم این اصول موضوعه این است که این اصول هیچ تناقضی به بار نمیآورند و میتوان نشان داد که اصل موضوعها باهم سازگاری دارند. بهاینترتیب این ادعا که همچنان موردتوجه ریاضیدانان است مطرح شد که تنها چیزی که از ریاضیات الزم داریم نظریه مجموعههاست و سایر شاخهها ریاضی بر آن تکیه دارند. 15

13 ریاضی دهم جبر مجموعهها )محتوای تکمیلی( فعالیت: با رسم نمودارهای و ن مناسب درستی روابط زیر بین مجموعهها را نشان دهید و آنها را به خاطر ( A B( C = A ( B C( 1( )خاصیت شرکتپذیری مجموعهها( ( A B( C = A ( B C( A ( B C( = ( A B( ( A C( ( )خاصیت توزیعپذیری( A ( B C( = ( A B( ( A C( A ( A B( = A 3( A ( A B( = A 4( A B = A B بسپارید. تذکر: رابطه 4 نشان میدهد هر تفاضلی را میتوان به اشتراک و هر اشتراکی را میتوان به تفاضل تبدیل کرد. A B = A ( B ( = A B A B = A B به عنوان مثال: تذکر: رابطه 4 نشان میدهد هرگاه بخواهیم اشتراک دو مجموعه را حساب کنیم میتوانیم هریک از A B = A B A B = B A ( A B( = A B 5( ( A B( = A B مجموعهها را از متمم مجموعة دیگر کم کنیم: لاثممث مبه کمک جبر مجموعهها تساویهای زیر را ثابت کنید. ( A B( ( A B( A الف( A = B [ ( (] [ ( (] ب( B A A B B A B = [ ( (] ج( M A A B A= پاسخ: A A B = A B ( A B( = ( A B ( A ( B ( = )الف B ( A B( ( A B( = B ( A A( = B φ= B φ ( A B( ( A B( A = B A = B ( A ( = B A A ( A B( = ( A A ( ( A B( =φ ( A B( = A B φ )ب B ( A B ( = ( B A ( ( B B ( = ( B A ( φ= B A φ ( A B( ( B A ( = B ( A A ( = B M = B M A A B = A A A B A= A A= M (] ( [ ( ( )ج 16

14 فصل اول مجموعه... شمارش اعضای مجموعهها تعداد اعضای مجموعه A را با نماد )A )n یا A نمایش میدهند. 1( شمارش اعضای اجتماع دو مجموعه برای شمارش اعضای اجتماع دو مجموعه کافی است تعداد عضوهای دو مجموعه را جمع کنیم و سپس تعداد اعضای مشترک دو مجموعه را کم کنیم زیرا هر عضو مشترک دو بار شمارش شده است: na ( B( = na,, ( ( + nb ( ( na ( B( = 1 3 1,, 3 برای 3 مجموعه A و B و C داریم: na ( B C( = na ( ( + nb ( ( + nc ( ( na ( B( na ( C( nb ( C( + na ( B C( به کمک نمودار و ن درستی رابطه باال را نشان دهید. پاسخگو باش ( شمارش اعضای تفاضل دو مجموعه برای شمارش تعداد عضوهای مجموعةB A کافی است تعداد عضوهای مجموعه A را منهای تعداد عضوهای مجموعةB A کنیم: na ( B( = na ( ( na ( B( 1, 1 لاثممث ماگر A مجموعهای 10 عضوی و B مجموعهای 1 عضوی باشد و اجتماع آنها 17 عضو داشته باشد تعداد اعضای مجموعههای زیر را حساب کنید. الف( B A ب( B A پاسخ: B( na ( B( = na ( ( + nb ( ( na ( )الف 17 = na ( B( na ( B( = 5 na ( B( = na ( ( na ( B( = 10 5 = 5 ب( برای محاسبه تعداد اعضای این مجموعه از نمودار و ن کمک میگیریم: میتوان تعداد اعضای مناطق a b c و d را به دست آورد. میدانیم = 5 ( B na ( است. درنتیجه منطقه b 5 عضوی است. از طرفی چون B دارای 1 عضو است درنتیجه منطقه c 7 عضوی است. A شامل مناطق c و d است که اشتراک آن با مجموعه B منطقه C است. درنتیجه مجموعهB A دارای 7 عضو است. A A B = B است. تذکر: در قسمت قبل نشان دادیم A = B درنتیجه: nb ( A( = nb ( ( na ( B( = 1 5 = 7 17

15 هب عالقهمند نفر 46 فوتبال به عالقهمند نفر 55 نفر 1۱۷ این از دارد. دانشآموز 117 مدرسه میک لاثممث و فوتبال به هم نفر 10 والیبال به هم و فوتبال به هم نفر 11 هستند. عالقهمند بسکتبال به هم نفر 40 و والیبال عالقهای ورزشی هیچ به نفر 4 بدانیم اگر دارند. عالقه بسکتبال به هم و والیبال به هم نفر 13 و بسکتبال به هم ندارند: عالقهمندند ورزش سه هر به نفر چند الف( عالقهمندند فوتبال به فقط نفر چند ب( عالقهمندند ورزش به حداقل نفر چند ج( ورزش سه هر به که هستند کسانی همان که d منطقه اعضای تعداد میتوان زیر رابطة کمک به الف( پاسخ: آورد: دست به را هستند عالقهمند na ( B C( = na ( ( + nb ( ( + nc ( ( na ( B( na ( C( nb ( C( + na ( B C( = na ( B C( na ( B C( = 6 عالقهمند ورزش یک به فقط هستند g e a مناطق عضو که اعضایی تعداد زیر و ن نمودار به توجه با ب( دارای d منطقه ازآنجاکه است. عضو n دارای که بوده d و b منطقه دو B و A مجموعه اشتراک میباشند. دارای که بوده c و d منطقة دو C و A مجموعههای اشتراک میباشد. عضوی 5 b منطقه پس است عضو 6 مجموعههای اشتراک میباشد. عضوی 4 c منطقه پس است عضوی 6 d منطقه ازآنجاکه است. عضو 10 بنابراین: است. عضوی 7 f منطقه است. عضوی 6 d منطقه که آنجا از است f و d منطقة دو C و B na ( ( = na ( ( + nb ( ( + nc ( ( + nd ( ( 55 = na ( ( na ( ( = 40 ریاضی دهم کنیم: جمع را b c d f اعضای تعداد مجموع است کافی ج( nb ( ( + nc ( ( + nd ( ( + n( f( = = دنبالهها عددی هر گوییم. اعداد از دنباله یک باشیم نوشته هم سر پشت را آنها که اعداد از تعداد هر به تعریف: تشکیل را دنباله یک روبهرو اعداد مثال دارد. نام دنباله آن جملة یک باشد گرفته قرار دنباله یک در که میدهند: میشوند. نامیده دنباله چهارم و سوم دوم اول جمالت ترتیب به 7 و اعداد فوق دنبالة در طبیعی اعداد آن ورودیهای که است دستگاهی درواقع اعداد - دنباله یک ماشین: یک بهعنوان دنباله مفهوم هب دهیم قرا هم سر پشت ترتیب به را دستگاه این خروجیهای اگر حال حقیقیاند. اعداد آن خروجیهای و n عدد به بهطورکلی و دنباله دوم جملة شده نوشته دوم عدد به دنباله اول جملة شده نوشته نخست عدد گوییم. دنباله این nا م جملة دنباله این از حاصل ا م بر خاصی عملیات و دریافت 1 از ترتیب به را طبیعی اعداد مجموعة که داریم دستگاهی کنید مفرض لاثممث سپس و میکند کم آن از واحد یک و میرساند توان به را دریافتی عدد دستگاه این میدهد. انجام آن روی میدهد. تحویل ما به خروجی بهعنوان را حاصل عدد بنویسید. اعداد از دنبالهای بهعنوان را دستگاه این اول خروجی 5 الف( کنید. مشخص را اعداد دنبالة این 16 ا م و 15 ا م جملههای ب( 18

16 بنویسید. را دنباله این nا م جملة پ( است 360 دنباله این چندم جملة ت( الف( پاسخ: اول فصل... مجموعه ورودی عدد خروجی عدد 1 1 1= 0 1= = = = میشود: حاصل روبهرو دنبالة درنتیجه و میرسانیم توان به را هرکدام پس است 16 عدد 16 ا م ورودی و 15 عدد 15 ا م ورودی میدانیم ب( میکنیم: کم واحد یک آنها از 15 ا م جملة = 15 1= 4 16 ا م جملة = 16 1= 55 = n nا م خروجی = nا م جملة = n 1 پ( nا م ورودی داریم: پس است n عدد 1 n برحسب خروجی این است. 360 دنباله این nا م خروجی کنید فرض ت( n 1= 360 n = 361 n = 19, n =- 19 باشد! منفی نمیتواند جمله شمارة چون نیست. قابلقبول 19- جواب باال معادلة در nا م جملة ترتیب بههمین و a نماد با را آن دوم جملة a 1 نماد با را آن اول جملة بنامیم a را دنبالهای اگر داریم: را روبهرو دنبالة قبلی مثال در مثال میدهیم. نمایش an نماد با را a, a, a, a, a,..., a = n بهصورت 1 دنباله عمومی جملة دنباله این در میشود. حاصل n بهجای موردنظر جملة شمارة دادن شدهاند. ساخته زیر شکلهای چوبکبریت از استفاده لاثمثمثمبا , 3, 8, 15, 4,..., 1 قرار با دنباله nا م جملة آن در که میشود بیان an میشود اضافه چوبکبریت چند قبل مرحله به نسبت مرحله هر در شکل به توجه با الف( زا دنبالهای بهصورت را اول شکل 5 در بهکاررفته چوبکبریتهای تعداد»الف«قسمت به توجه با ب( بنویسید. اعداد آورید.* دست به را nا م مرحلة در بهکاررفته چوبکبریتهای تعداد پ( میشود. اضافه قبلی ضلعی 6 کنار به چوبکبریت 5 جدید 6 ضلعی یک ایجاد برای مرحله هر در الف( پاسخ: ب( a1= 6 a = = 11 a3 = = 16 a4 = = 1 Ï»H##¾ ± µ ] ³»j##¾ ± µ ] ³¼w#¾ ± µ ] a5 = = 6 6, 11, 16, 1, 6 ³nI a#¾ ± µ ] 19 چیزی سادهترین اینجا در ما و نیست منحصربهفرد معموال داریم اختیار در را آن جملة چند تنها که دنباله یک عمومی جملة * کردهایم. ارائه را میرسد دانشآموزان اغلب ذهن به که

17 ریاضی دهم اول مرحلة از بیشتر 5 تا دوم مرحلة چوبکبریتهای تعداد میشوید متوجه کنید دقت دنباله به اگر پ( چهارم مرحلة چوبکبریتهای تعداد و اول مرحلة از بیشتر = 5 سوم 10 مرحلة چوبکبریتهای تعداد nا م مرحلة چوبکبریتهای تعداد میزنیم حدس درنتیجه است. اول مرحلة از بیشتر تا 3 5 = 15 6, 6 + 5, , ,..., ( n 1( 5 است: اول مرحلة از بیشتر تا ( n )1 5 a1= 6, a = 11, a3 = 16, a4 = 1, an = 6 + 5( n 1 ( an = 6+ 5( n 1( = 5n+ 1 با: است برابر nا م جملة درنتیجه داشت. خواهیم چوبکبریت 5n nا م 1 + مرحلة در پس است 3 لاثمثمثم 5 برابر است n 1 an = آن عمومی جملة که دنبالهای چندم جملة 3n + قرار 3 5 برابر را n 1 3n + عبارت پس شد خواهد 3 5 برابر an nای مقدار چه ازای به ببینیم باید پاسخ: میدهیم: n 1 3 = 10n 5 = 9n + 6 n = 11 3n + 5 بازگشتی دنباله برحسب بعدی جملههای و باشد مشخص آن اولیة جمالت از تعدادی یا اول جملة که دنبالهای به تعریف: گوییم. بازگشتی دنباله باشند شده بیان قبلی جمالت از تعدادی تعداد با است برابر مرحله هر چوبکبریتهای تعداد زیرا است. بازگشتی دنبالة یک مثال دنبالة مثال.5 بهعالوه قبل مرحلة چوبکبریتهای است 1 آن اولیة جملة دو که دارد وجود ایتالیایی معروف ریاضیدان فیبوناچی دنبالة نام به لاثمثمثمدنبالهای میآیند. دست به قبلی جملة دو جمع حاصل از بعدی جمالت و بنویسید. را دنباله این اول جملة شش الف( بنویسید. ریاضی( )نمادهای ریاضی زبان با را دنباله این ب( )الف پاسخ: a1= 1 a = 1 a3 = a4 = 3 a3 =, a4 = 3, a5 = 5, a = 1 a3 = a4 = 3 a5 = 5 a6 = ب( F1= 1, F = 1, Fn = F n 1 + F n ( n 3 ( ph# L ##¾ ± µ ]#¹ Ä #ph L ##¾ ± µ ]#»jâ¹ Ä ³H n#¾ ± µ ] ³H n#¾ ± µ ] است. برقرار بعد به سوم جمالت برای رابطه این 0

18 چند تعریف 1( دنبالهای را که هر جملة آن نسبت به جملة قبلی کمتر نباشد )غیر از جملة اول( یک دنبالة صعودی )افزایشی( گویند. منظور از کمتر نباشد این است که یا مساوی است یا بیشتر. ( دنبالهای را که هر جملة آن نسبت به جملة قبلی بیشتر نباشد )غیر از جملة اول( یک دنبالة نزولی )کاهشی( گویند. منظور از بیشتر نباشد این است که یا مساوی است یا کمتر. فصل اول مجموعه... دنبالة افزایشی, 57,, 13 1, 3, 4, دنبالة نه کاهشی نه افزایشی 9, 1, 5, دنبالة کاهشی 7 دنبالة حسابی تعریف: دنبالهای که هر جملة آن )غیراز جملة اول( از افزودن یک مقدار ثابت به جملة قبلی به دست میآید را دنبالة حسابی )یا تصاعد حسابی( گوییم و به این مقدار را ثابت قدرنسبت دنباله مینامیم. بهعنوان مثال دنبالة زیر را در نظر بگیرید: در این دنباله هر جمله )غیر ازجمله اول( 3 واحد بزرگتر از جملة قبلی خود است. پس این دنباله یک دنبالة حسابی با قدرنسبت 3 است. بهعبارتدیگر میتوان گفت هر دنبالهای که تفاضل هر جمله از جملة قبلی )غیر ازجمله اول( مقدار ثابتی باشد را دنبالة حسابی گوییم. بر این اساس اگر جملة اول دنباله را a و قدرنسبت را d بنامیم میتوانیم با نمادهای ریاضی این دنباله را بهصورت زیر تعریف کنیم: a = a 1 : تعریف دنبالة حسابی با نمادهای ریاضی an an 1= d an = an 1+ d ( n> 1( دنبالة حسابی درواقع یک دنبالة بازگشتی است. طبق تعریف مثال دنبالة یک دنبالة حسابی نیست زیرا تفاضل جملة دوم از جملة اول است ولی تفاضل جملة چهارم از جملة سوم 3 است. جمالت یک دنبالة حسابی را برحسب جملة اول )a( و قدرنسبت آن )d( میتوان بهصورت زیر نوشت: درواقع جملة دوم 1 d بیشتر از جملة اول جملة سوم d بیشتر از جملة اول و جملة nا م )1 n ( بیشتر از d an است. جملة اول است. درنتیجه جملة عمومی دنبالة حسابی بهصورت n d( = a1 + ( an an 1= d an = a1+ ( n 1 ( d 1

19 ریاضی دهم کی زیر دنبالههای از هریک درصورتیکه باشد. حسابی دنبالة یک میتواند زیر دنبالههای از لاثمثمثمکدامیک بنویسید. را آن عمومی جملة و قدرنسبت باشد حسابی دنبالة ,,,, پ( 1,, 0,, 1, ب( الف( الف( باشد: ثابتی مقدار متوالی جملة دو هر تفاضل که است حسابی دنبالة یک دنبالهای تعریف طبق پاسخ: ب( نیست. ثابتی مقدار متوالی جملة دو هر تفاضل زیرا نیست حسابی دنبالة یک پ( کنید. مشخص را دنباله این باشد 15- آن هشتم جملة و 10 حسابی دنبالة یک سوم جملة لاثمثمثماگر کنیم: محاسبه را آن قدرنسبت و اول جملة است کافی حسابی دنبالة یک شدن مشخص برای پاسخ: a3 = 10 a3 = a1+ d = 10 a8 a3 = 5d a8 = 15 a8 = a1+ 7d = 15 d= 5 5d = 5 d = 5, a3 = a1+ d = 10 a1= 0 است: سوم جملة از بیشتر 5d هشتم جملة که است مشخص فوق محاسبات به توجه با است. قبل جملة از کمتر واحد 5 دنباله از جمله هر یعنی است. 5- قدرنسبت و 0 دنباله اول جملة درنتیجه است: برقرار زیر رابطه صورت این در باشیم داشته را an و a m مثال متمایز جملة دو حسابی دنبالة یک در اگر am an = ( a1+ ( m 1( d( ( a1+ ( n 1 ( d( = ( m nd ( am an = ( m nd ( با برابر b باشند( حسابی دنباله یک متوالی جملة )سه دهند حسابی دنبالة تشکیل c و a b عدد سه اگر است: c و a عدد دو حاصلجمع نصف اثبات: a= b d a+ c a+ c = b b= c = b + d گویند. c و a حسابی میانگین یا c و a حسابی واسطة b به اینجا در

20 لاثمثمثممقدار a را طوری بیابید که سه عدد زیر تشکیل یک دنبالة حسابی دهند و سپس این سه عدد را مشخص کنید. فصل اول مجموعه... 6 a+ 7, 4 a 1, 10 a 1 a a a 1 3 a+ c پاسخ: اگر a b و c تشکیل دنبالة حسابی دهند داریم = b درنتیجه: ( 6a+ 7( + ( 10a 1( = 4a 1 16a + 6 = 8a 8a = 8 a = 1 a1= 6a+ 7 = 1, a = 4a 1= 5, a3 = 10a 1= 11 1, 5, 11 SLvºnk = d = 6 لاثمثمثمبین دو عدد 6 و 86 سه عدد قرار دهید که این 5 عدد تشکیل دنبالة حسابی دهند. a5 = a1+ 4d 86 = 6 + 4d 4d = 80 d = 0 پاسخ: راه اول: مطابق شکل باال 86 جملة پنجم و 6 جملة اول است: درنتیجه جمالت a, a و a 4 بهصورت زیر به دست میآیند. 3 3 راه دوم: a 3 میانگین حسابی 6 و 86 است. زیرا فاصلة مساوی از این دو جمله دارد درنتیجه: a + a + a = a3 = = 46 همینطور a میانگین حسابی a 1 و a 3 است و a 4 میانگین حسابی a 3 و a 5 است درنتیجه: a + a + a = a = = 6 a + a + a = a4 = = 66 مجموع جمالت دنباله حسابی فرض کنید میخواهیم مجموع جمالت یک دنبالة حسابی را به کمک ماشینحساب به دست آوریم. مثال 30 و... و 11 و 8 و 5 مجموع 100 جملة ابتدایی دنبالة حسابی زیر: قطعا اگر تکتک جمالت را پشت سرهم جمع کنیم کار بسیار سخت و طاقتفرسایی خواهد بود. فسفربسوزان: راهحلی برای محاسبه سریع مجموع جمالت دنباله حسابی را ارائه دهید. اگر جمالت یک دنباله حسابی را دو بار باهم جمع کنیم بهطوریکه جمله اول را با جملة nا م و جمله دوم را q( ( m+ n= p+ داریم: با جملة 1 n ا م و 0000 جمع کنیم با توجه بهتساویaq an + am = ap + Sn = a1+ a+ a an Sn = an + an 1+ an a1 a1+ an = a+ an 1= ap + ap ( p+ q= n+ 1( na ( a ( S ( ( n n = na + an Sn = 1 + 1

21 ریاضی دهم an است میتوان رابطه Sn را برحسب n بهصورت زیر نوشت: با توجه به آنکهd = a1 + ( n 1( na ( + a + ( n ( d( n Sn = = [ a1 + ( n 1( d] ( an است و Sn از درجه اگر دقت کنید جملة عمومی یک دنباله حسابی از درجه یک )d = a1 + ( )1 n دو درنتیجه هر دنباله با جمله عمومی درجه اول یک دنباله حسابی است و همچنین معموال Sn با درجه دوم مجموع جمالت یک دنباله حسابی است. )چرا معموال ( لاثمثمثمدر یک دنباله حساب مجموع 1 جملة اول 138 و جملة ششم آن برابر 10 است. جمله دوم این a6 = a1+ 5d = 10 (( 1 1 S1 = [ a d] = 6 [ a d] = 138 a d = 3 (( 1, a1 + 5d = 10 d = 3 a1= 5 a = a1+ d = a1 + 11d = 3 دنباله را به دست آورید. پاسخ: پاسخ: لاثمثمثمدر یک دنبالهحسابی مجموع جمالت هفتم و شانزدهم 0 است. مجموع جملة نخست را بهدست آورید. a7 + a16 = a1 + 6d+ a1 + 15d = a1 + 1d = 0* S = [ a1 + 1 d] = * 11 0 = 0 تذکر: a7 + a16 = a1 + a لاثمثمثمدر یک دنباله حسابی شامل 30 جمله مجموع 4 جملة اول 7 و مجموع 4 جملة آخر 73 است. مجموع تمام جمالت را به دست آورید. پاسخ: میدانیم: a1 + a30 = a + a9 = a3 + a8 = a4 + a7 درنتیجه مجموع 4 جمله اول و 4 جمله آخر 4 برابر مجموع جملة اول و آخر است: a1+ a+ a3 + a4 = 7 4( a1 + a30( = 100 a30 + a9 + a8 + a7 = a1 + a30 = 5 S30 = [ a1 + a30] = 15 5 = 375 لاثمثمثماعداد طبیعی را به طریقی دستهبندی میکنیم که آخرین جمله هر دسته مربع کامل باشد: 9(... ( 5, 6, 7, 8,, 4( (, 3,, 1( ( مجموع جمالت در دسته دهم را به دست آورید. Ï»H#¾Twj ³¼w#¾Twj# Àj#¾Twj ( 1(, (, 3, 4(, ( 5, 6, 7, 8, 9(,...( 8, 83,..., 99, 100( = [ ] = 179 پاسخ: 4

22 اول فصل... مجموعه هندسی دنبالة به قبلی جملة در صفر غیر ثابت مقدار یک ضرب با اول( ازجمله )غیر آن جملة هر که دنبالهای تعریف: میگویند. هندسی دنبالة قدرنسبت ثابت مقدار این به و مینامند هندسی دنبالة میآید دست بگیرید: نظر در را روبهرو دنبالة بهعنوانمثال دنبالة یک دنباله این درنتیجه است خود قبلی جملة برابر سه اول( جملة از )غیر جمله هر دنباله این در رب جمله هر تقسیم حاصل که را دنبالهای هر گفت میتوان بهعبارتدیگر میباشد. 3 قدرنسبت با هندسی جملة اگر اساس این بر است. هندسی دنبالة یک باشد صفر( )غیر ثابتی مقدار اول( جملة از )غیر قبلی جملة کنیم: تعریف زیر بهصورت را دنباله ریاضی نمادهای با میتوانیم بنامیم q را قدرنسبت و a را اول a1 = a ریاضی نمادهای با هندسی دنبالة :تعریف an نیست( صفر قدرنسبت قرارداد )طبق = q ( n> 1( q 0 an 1 است. بازگشتی دنبالة یک حسابی دنبالة مانند نیز هندسی دنبالة اول جملة به دوم جملة تقسیم حاصل زیرا نیست هندسی دنبالة یک دنبالة مثال تعریف طبق است. 3 برابر سوم جملة به چهارم جملة تقسیم حاصل اما است برابر )a( آن اول جملة برحسب را هندسی دنبالة یک جمالت نوشت: مقابل بهصورت میتوان )q( آن قدرنسبت و n q 1 nا م جملة و اول جملة برابر q سوم جملة اول جملة برابر q دوم جملة درواقع an n = aq 1 1 بهصورت هندسی دنبالة عمومی جملة درنتیجه است. است اول جملة برابر an n 1 = q ( q 0 ( an = aq 1 an 1 باشد هندسی دنبالة یک درصورتیکه باشد. هندسی دنبالة یک میتواند زیر دنبالههای از لاثمثمثمکدامیک بنویسید. را آن عمومی جملة,,, ) ب , 5, 5, 5 5, 5 الف( 1, 1, 1, پ( 1 مقدار قبلی جملة بر اول( ازجمله )غیر جمله هر تقسیم حاصل باید هندسی دنبالة تعریف به توجه با پاسخ: باشد: ثابت الف( 5

23 ریاضی دهم ب( پ ) لاثمثمثمجملة سوم یک دنبالة هندسی برابر 6- و جملة ششم آن 48 است. الف( قدرنسبت را بیابید. ب( جملة عمومی دنباله را بنویسید و 4 جملة اول این دنباله را مشخص کنید. پاسخ: الف( برای محاسبة قدرنسبت جملة ششم و جملة سوم را مینویسیم و برهم تقسیم میکنیم: 5 a = aq a aq 6 = 1 3 = q a = aq a aq 1 a6 a = = q = 8 q= 6 پس نسبت جملة ششم به جملة سوم توان سوم قدرنسبت است: q = 3 3 a ( ( a an ( ( n 1 1 = 6 1= = a3 = aq 1 = 6 ازآنجاکه قدرنسبت برابر - و جملة اول برابر 3 است جملة دوم - برابر جملة اول جملة سوم - برابر جملة دوم و جملة چهارم - برابر جملة سوم است: اگر در یک دنبالة هندسی دو جملة متمایز a m و an را داشته باشیم در این صورت رابطة زیر بین این دو m 1 m جمله برقرار است: am aq q m n am m n = 1 = = q = q a n 1 n n aq q a 1 n اگر سه عدد a b و c تشکیل دنبالة هندسی دهند )سه جملة متوالی یک دنبالة هندسی باشند( حاصلضرب a و c برابر توان دوم b است. 6

24 اثبات: فصل اول مجموعه... b a = b q a c = bq = b ac = b q c = bq در این رابطه b را واسطه هندسی a و c و یا میانگین هندسی a و c گویند. = b اگر b دارای فاصلة مساوی از c و a )ازنظر شمارة جمله( باشد همچنان رابطة شکل زیر توجه کنید: ac برقرار است. به b = ac b = ef b = dg یعنی b میانگین هندسی g (d( f (e ( و (a( c است. 1 تشکیل یک دنبالة هندسی دهند. سپس این سه عدد x و x 1+ لاثمثمثمx را طوری بیابید که سه عدد x را بیابید )مسئله چند جواب دارد ( پاسخ: اگر a b و c تشکیل دنبالة هندسی دهند داریم: 1 x, x, 1 + x ( 1 x(( 1+ x( = x 1 x = x x = 1 a b c 1 x = x =± ازآنجاکه برای x دو مقدار به دست آوردیم مسئله دارای جواب است: a = 1 x = 1 + +,, = x x = b= اگر c = 1 + x = 1 a = 1 x = 1 +,, = x x = b= اگر c = 1 + x = 1 + 7

25 ریاضی دهم دنباله )جمالت دهند هندسی دنبالة تشکیل عدد پنج این تا داده قرار عدد سه 81 و 8 عدد دو لاثمثمثمبین هستند(. افزایش حال در اول جملة که است جمله 5 دارای دنباله این دادهایم قرار واسطه 3 عدد دو این بین ازآنجاکه اول: راه پاسخ: میکنیم: محاسبه را قدرنسبت اول جملة به پنجم جملة تقسیم از درنتیجه است. 81 آن پنجم جملة و 8 آن 81 4 a a = aq 5 4 = q = = q q=± a نمیتواند قدرنسبت پس افزایشاند حال در دنباله جمالت که است شده گفته سؤال صورت در ازآنجاکه دنبالة بنابراین و است q = 3 درنتیجه میکند مثبت و منفی یکدرمیان را دنباله جمالت زیرا باشد منفی داشت: خواهیم را زیر کنید: توجه روبهرو دنبالة به دوم: راه 8, a, b, c, 81 است: و 8 هندسی واسطة پس است 8 و از مساوی فاصلة دارای b عدد 81 kºh#yähqîh#ïie#nj#¾²ilºj#r µ ]# ¼a b = 8 b = 4 81 b= ± 18 b= 18 است: عدد دو این هندسی واسطة پس دارد قرار b و 8 بین a عدد a = 8b a = 8 18 a = 144 است: عدد دو این هندسی واسطة پس است 81 و b بین c عدد kºh#yähqîh#ïie#nj#¾²ilºj#r µ]# ¼a a= ± 1 a= 1 c = 81 b c = c = 81 9 = 3 6 kºh#yähqîh#ïie#nj#¾²ilºj#r µ ]# ¼a c = ± 7 c = 7 هندسی دنباله جمالت مجموع مثال آوریم. دست به ماشینحساب کمک به را هندسی دنبالة یک جمالت مجموع میخواهیم کنید فرض زیر: هندسی دنباله ابتدایی جملة 100 مجموع 3, 6, 1,..., 3 99 دارید! پیشرو سختی کار است جمع سرهم پشت جمالت تکتک جمع شما روش زهم با اگر قطعا بسوزان فسفر دهید. ارائه هندسی دنبالة یک جمالت مجموع سریع محاسبه برای راهحلی 8

26 اول فصل... مجموعه مطابق عبارت کل در q ضرب با دهیم. نشان S حرف با را هندسی دنبالة اول جملة n مجموع کنید فرض داریم: زیر n Sn = a + aq qq n qsn = aq 1 + aq aq 1 n 1 sn = a1+ aq aq 1 n n n a ( q ( qsn sn = a q a sn( q ( = a ( q ( sn = ( q 1( بیابید. را قدرنسبت است. آن اول جمله 4 مجموع 5 اول جملة 8 مجموع هندسی دنبالة یک لاثمثمثمدر 4 8 a ( q ( 8 q ( q ( s = ( q 1( s ( q ( q ( q (( q + ( = = = = 4 a ( q ( s a ( q ( q ( q ( s = ( q 1( ( q 1( ± q + 1= q = q=± 4 =± = پاسخ: 6, 1, 4,... است 106 برابر روبرو هندسی دنبالة ابتدایی جملههای از تعداد چه لاثمثمثممجموع n n 6(( ( 1( 6(( ( 1( n sn = = 106 = 106 ( ( 1= n ( ( = 51 n = 9 پاسخ: نصف دوم مرحله در آن مساحت از نیمی اول مرحلة در بگیرید. نظر در را واحد ضلع با لاثمثمثممربعی مساحت %99 از بیش مرحله چند حداقل از بعد میدهیم. ادامه را عمل این و میکنیم رنگ را باقیمانده مساحت میشود رنگآمیزی مربع 1 مساحت از ( ( n nا م مرحله در و مربع مساحت 1 4 دوم مرحله در مربع مساحت 1 اول مرحله در پاسخ: کنیم: حل را زیر نامعادلة باید درنتیجه میشود رنگآمیزی مربع 1 1 n 1 1 n (( ( 1( (( ( 1( sn = > > n 99 1 n 1 n 1 ( ( > ( ( < > 100 n شود. رنگ مربع %99 از بیش تا است الزم مرحله 7 حداقل درنتیجه 1 1 زا کمتر باید که است باقیمانده مربع مساحت از ( n) nا م مرحله در بگوییم میتوانستیم : راهحل ( ( n 1 < n 7 شود: رنگ مربع %99 از بیش تا شود 100

27 ریاضی دهم زنون پارادوکس بینهایت چالش او است. محال و تناقضآمیز حرکت دهد نشان تا کرد طراحی سناریویی مسیح میالد از پیش سال 450 یونانی فیلسوف زنون مسابقه عنوان تحت او پارادوکس است. توهم از ناشی حرکت مشاهده و است سکون منزلگاه جهان که دهد نشان میخواست میشود: مطرح زیر شکل به الکپشت و آشیل طوالنی فاصله یک در دو مسابقه به تصمیم الکپشت یک و است شده شناخته چاالکی و بهسرعت که یونانی قهرمان آشیل ادعا زنون کند. آغاز او از جلوتر قدمی چند از را مسابقه الکپشت که میدهد اجازه پهلوانی روحیه سبب به آشیل میگیرند. این به او استدالل دهد. شکست مقدماتی فاصله همین سبب به را آشیل باید الکپشت باشد واقعی حرکت اگر که میکند تا میکشد طول که مدتی در است. A نقطه در الکپشت و O نقطه در آشیل مسابقه آغاز لحظه در کنید فرض که است ترتیب نقطه در آشیل حاال است. رسیده B نقطه به A نقطه از و است رفته پیش کمی هم الکپشت برسد A نقطه به O نقطه از آشیل B نقطه به A نقطه از باید آشیل بعد مرحله در است. جلوتر آشیل از AB اندازه به الکپشت و است B نقطه در الکپشت و A اندازه به بازهم الکپشت بهاینترتیب میرسد. C نقطه به B نقطه از و میرود جلو کمی الکپشت بازهم مدت این در و برسد آشیل از اندک( )هرچند قدری باید مرحله هر در و همواره الکپشت بنابراین که میدهد توضیح زنون است. جلوتر آشیل از BC هستیم توهمی دچار میشود پیروز آشیل که میکنیم مشاهده عمل در اگر بنابراین شود مسابقه برنده درنهایت و باشد جلوتر است. شده داده نمایش الکپشت بودن جلوتر و الکپشت و آشیل رقابت سناریوی 1 شکل در است. انداخته خطا به را ما که برسد. اتمام به الکپشت پیروزی با باید زنون استدالل بر بنا که الکپشت و آشیل رقابت - 1 شکل الکپشت اولیه فاصله کمیتهای به سادگی برای میکند. حل ترتیب چه به را مسئلهای چنین نیوتونی فیزیک که ببینیم حال 1 سرعتش و کند آغاز را مسابقه جلوتر متر از الکپشت که میکنیم فرض میدهیم. نسبت عددی یک هر سرعت و آشیل و اولیه مکان گرفتن نظر در مبدأ فرض با آشیل مکان-زمان معادله است. ثانیه بر متر آشیل سرعت درحالیکه باشد ثانیه بر متر x = t است: SI در زیر معادله مطابق او 30

28 اول فصل... مجموعه = t + است: قابلنوشتن زیر شکل به الکپشت مکان-زمان معادله همچنین x دست به برای بنابراین است محاسبه قابل میرسند هم به متحرک دو این که زمانی شی دو مکان معادله دادن قرار مساوی با میدهیم: قرار برابر را معادلهها متحرک دو تالقی محل و زمان آوردن t = t + t = معادله دو از یکی در ثانیه جاگذاری با و) ثانیه ظرف متحرک دو که میکند استدالل بهسادگی نیوتونی فیزیک بهاینترتیب میزند. جلو الکپشت از آشیل پسازآن و میرسند هم به مبدأ متری 4 در حرکت( که کنید فرض کنیم. حساب را الکپشت به آشیل رسیدن زمان آن به تکیه با و بمانیم وفادار زنون سناریوی به کنیم سعی حاال اطالعات با مطابق را الکپشت و آشیل اولیه فاصله و سرعتها است. A نقطه در الکپشت و O نقطه در آشیل اول لحظه در است. مبدأ متری در A نقطه بنابراین میگیریم نظر در باال مسئله 1 سرعت با الکپشت مدت این در برسد. A به O نقطه از تا دارد الزم وقت ثانیه 1 ثانیه بر متر سرعت با آشیل اول مرحله در A نقطه از آشیل اینکه برای بعد مرحله در است. رسیده مبدأ متری 3 در B نقطه به و است رفته پیش به متر یک ثانیهای بر متر است کرده حرکت B نقطه از متر 0.5 الکپشت مدت این در دارد. احتیاج زمان ثانیه 0.5 به ثانیه بر متر سرعت با برسد B به تعقیب در آشیل که متفاوتی مراحل از ناشی زمانی دنباله یک روند این ادامه با است. رسیده مبدأ متری 3.5 در C نقطه به و میشود: تشکیل زیر شکل مطابق است الکپشت است: قابلنوشتن زیر الگوی مطابق آشیل و الکپشت فاصله دنباله ترتیب همین به 1, 0/ 5, 0/ 5, 0/ 15,, 1, 0/ 5, 0/ 5, اندازه اینکه به توجه با است. 0.5 قدرنسبت با هندسی تصاعد یک نشاندهنده دنباله دو این از یک هر که است واضح سری و اول( )دنباله است الکپشت تعقیب در آشیل که زمانی کل بینهایت سری مجموع است کوچکتر 1 از قدرنسبت است: محاسبه قابل و همگرا برسد الکپشت به تا کند طی باید آشیل که مسافتی کل بینهایت زمانی: دنباله برای دارد. مطابقت نیوتونی مکانیک تحلیل با نتیجه این میرسند. هم به ثانیه از پس متحرک دو یعنی دارد. تطبیق نیوتونی مکانیک توضیح با هم نتیجه این میرسد. الکپشت به مبدأ متری 4 در آشیل یعنی a S = 1 1 q 1 S = = 1 0/ 5 S = = 4 1 0/ 5 است ممکن زنون کندتر متحرک به سریعتر متحرک رسیدن تجربی مشاهده و باال در انجامشده تحلیلهای تمامی باوجود الکپشت به آشیل که نمیکنیم مشاهده عمل در که نبود مدعی زنون است. نشده داده او اصلی چالش به پاسخی که کند ادعا است. تناقضآمیز او نظر در موضوع همین و میرسد الکپشت به آشیل همیشه چرا که اینجاست مشکل دقیقا بلکه میرسد جلو الکپشت از آشیل چگونه و مرحلهای چه در کنید. توجه 1 شکل به و بازگردید پارادوکس از مطرحشده سناریوی به بازهم روطچ میرود جلو کمی الکپشت برسد الکپشت قبلی بهجای تا دارد الزم آشیل که مدتی در که است این نه مگر میزند برسد الکپشت به آشیل که کرد تصور میتوان محرک گویا باشد. بینهایت مفهوم از مناسب شهود و درک داشتن عدم از ناشی ایجادشده ظاهری تناقض میرسد نظر به مثبت عدد بینهایت مجموع است ممکن چگونه اینکه است: بوده موضوع همین هم تناقضی چنین طرح برای زنون اصلی است. درک غیرقابل و نامأنوس ما برای بینهایت مفهوم اندازه چه به که میکند یادآوری ما به زنون پارادوکس نشود. بینهایت 31

29 ریاضی دهم لغتنامه ترجمه اعداد زوج اعداد فرد تصاعد حسابی تصاعد هندسی دنباله زیرمجموعه واژه علمی ترجمه صحیح طبیعی عدد حقیقی گویا مجموعه مجموعه مرجع )جهانی( نظریه مجموعه واژه علمی Integer Natural Real number Rational Set Universal set Set theory even numbers odd numbers Arithmetic progression geometric progression series Subset جمع بندی کن. جاهای خالی را با عبارات مناسب پر کنید. 1 حاصل.1. مجموعة 1 3.3,] (,( 13 [ بهصورت بازة...قابلنمایش است. { 1} ), [ ازلحاظ متناهی و نامتناهی بودن مجموعه است... اگر ] 5 3, [ = A و ] 7, ( = B حاصل B A بهصورت... است. A مجموعة... است. B حاصل A B A (] ( [ مجموعة... است. 4.4 اگر بدانیم = 5.5 سادهشده مجموعه A A A B 6 اگر 6. جملة اول یک دنبالة حسابی و قدرنسبت آن 3 باشد جملة دهم آن... است. 9 7 اگر 7. جملة سوم و پنجم یک دنبالة حسابی به ترتیب 17 و 1 باشد قدرنسبت دنباله... است. 8 بین 8. 3 و 33 نه واسطة حسابی درج کردهایم. قدرنسبت دنباله برابر با... است.)جملة اول دنباله 3 است( 3 9 جملة 9. سوم و هفتم دنبالهای حسابی به ترتیب 13 و 1 است. مجموع 0 جملة ابتدایی دنباله برابر است با در دنبالة هندسی,..., 36 a 1, جملة ششم برابر است با اگر 111 جمالت سوم و ششم یک دنبالة هندسی به ترتیب و 54 باشند جمله دهم این دنباله برابر است با ,m +m 1, سه جمله متوالی از یک دنبالة هندسی باشند مقدار M برابر است با m+ اگر یا 1313 در دنبالة هندسی.., 4,, 1 مجموع 14 جملة اول...برابر مجموع 7 جمله اول است. 17 3

30 شهر فرنگ فصل اول مجموعه... 33

31 تمرینها 1( N Z ( N R 3( N Q 4( N W Z 5( Z R 6( R W = R 7( W Z = Z 8( { } 9( A 10( {{ }} = { } 11( ( R Q( Z = 1 درستی 1. و نادرستی موارد زیر را بنویسید. جدول. زیر را کامل کنید., ] R را بهصورت اجتماع دو بازه بنویسید و روی محور اعداد حقیقی نمایش دهید. 3 مجموعة.3 5) x + 1 A xx R, را بهصورت بازه نمایش دهید. 4 مجموعة 3.4 < (, ( مجموعههای زیر را بهصورت بازه نمایش دهید. A = 3, 5 اگر.5 6 C = و 4 B = [ 1, ) [ و + ) الف( B A ب B) A پ B) A ( A C( ت( C B ث ) C A B ج B) ) [ باشد. A 6 دو 6. بازه مانند A و B مثال بزنید که 1,1 = B 34

32 A باشد. 7 دو 7. بازه مانند A وB مثال بزنید که {1 { = B 8 در 8. هر مورد متناهی و نامتناهی بودن هر مجموعة داده شده را مشخص کنید. 1( مجموعة حیوانات روی کرة زمین. ( مجموعة اعداد طبیعی بزرگتر از 5. )3 ] بازة 5 1, (. 1 x Z, 5 x 100 )4 x 11 N, 0< x )5 x x 9 الف( 9. مجموعهای متناهی مثال بزنید که بزرگترین عضو آن 5 و کوچکترین عضو آن 3- باشد. ب( مجموعهای نامتناهی مثال بزنید که بزرگترین عضو آن 5 و کوچکترین عضو آن 3- باشد. ج( مجموعهای نامتناهی مثال بزنید که بزرگترین عضو آن 6 باشد. د( مجموعهای نامتناهی مثال بزنید که بزرگترین عضو آن 6 باشد و کوچکترین عضو برای آن تعریف نشده باشد ولی همه اعضای آن مجموعه از 1- بزرگتر باشند اگر 10} {, 4, 6, 8, = A و }, 79,, 135 {, = B و },,, 357 { = C و },,,,,,,,, { = M باشد و بدانیم 1( A = ( B = 3( C = 4( A B = 5( A B = 6( A C = 7( A C = 8( B C = 9( B C = 10( ( B C ( = 11( A ( B C ( = 1( ( A B( ( B C ( = 13( ( A B( C = 14( A B C = 15( ( A B ( C = 16( M ( A C( = مجموعه M مجموعه مرجع است مجموعههای زیر را با نوشتن اعضا مشخص کنید. 35

33 1 اگر } x A= { x x N, 4 < و 7} < x B = { x 1 x Z, و 13} {, 3, 6, 7, = C باشد مجموعههای زیر را با نوشتن اعضا مشخص کنید. = B )1 A ( B C = 3( ( B A( C = 4( ( A B( ( A B( = 5( B ( A C( = 6( ( B C( A= 7( [( A C( B] ( C B( = 11 اگر M = N باشد و } ( A ( = {, 9 10, 11, باشد A چند زیرمجموعه دارد 1313 اگر N مجموعه مرجع و } x A = { x و } 5 x B = { x در این صورت A B را بنویسید. 1( A ( B C( ( A ( B C( 3( ( A B( ( B C( 1 هر 414 یک از مجموعههای زیر را با کمک نمودار و ن نمایش دهید. 1 قسمتهای 515 سایهدار را با عملیات مجموعهها توصیف کنید. 1 عملیاتی 616 بنویسید که نمودار ون زیر را نشان دهد. 1 طرف 717 دوم تساویهای زیر را بنویسید. = M )1 ( = 3( ( A ( = 4( A M = 5( A M = 6( A = 7( A = 8( A A = 9( A A = 10( A ( A B ( = 11( A ( A B ( = 36

34 1( A ( A B( = ( A ( A B( = A B 3( ( A B ( A= 4( ( A B( B = 1( ( A M ( ( A( = ( ( A B ( ( A B( = A 3( ( A B( ( A B ( = M کنید: ثابت مجموعهها عملیات از استفاده 1 با 818 کنید. ثابت زیر موارد از یک هر مجموعهها عملیات از استفاده 1 با 919 A ( A B( = A کنید: 00 اثبات 1( ( A B C( ( A B( ( A B( = A ( ( A B( ( B A( = ( A B( ( A B( 3( [( A M( ( A B (] [( A M( ( A B(] = 4( [( A B( A ] [ B ( A B(] = A 5( [ A ( A B(] [ B ( A B (] = B 6( ( A B( [ B ( A B(] = A B E { 35811,,, } = { 58, } E { 4, 5, 11, 13} = { 4, 5, 7, 8, 11, 13} E { 5, 7, 8, 9, 11, 13} 13 E A ( A B( = A کنید: 11 اثبات کنید. ثابت زیر موارد از یک هر مجموعهها عملیات از استفاده با کنید: 33 فرض دارد عضو چند E صورت این در تعداد یعنی na ( B( ( است چقدر زیر عبارت حاصل باشد B = { x 3n+ 1, n N} و A = {, 1, 3, 4,, 30} 44 اگر ) A B مجموعه عضوهای na ( B( na ( B( = A بوده B یکرقمی فرد اعداد مجموعه B و یکرقمی اول اعداد مجموعه وA مرجع مجموعه یکرقمی طبیعی 55 اعداد است عضو چند دارای دست به را B و B A و A B مجموعههای عضوهای تعداد na ( B ( = 7 و na ( B ( = 0 na ( ( =11 66 اگر آورید. دارد. عضو چند B مجموعه B A و B = { x 4n 1, n A} و A = {, 1, 3, 4,, 30} 77 اگر 37

35 افراد کل تعداد اگر خوردهاند. قهوه هم و چای هم نفر 7 آنها بین از که خوردهاند قهوه نفر 17 و چای نفر 18 مهمانی یک 88 در قهوه نه خوردهاند چای نه نفر چند باشد نفر 30 و فوتبال نفر 10 میان این از میکنند. بازی فوتبال هم عدهای و بسکتبال نفر 6 والیبال نفر 8 نفری 60 کالس یک در 99 میکنند. بازی رشته سه هر در نفر 7 بهطوریکه میکنند بازی بسکتبال و فوتبال نفر 9 و بسکتبال و والیبال نفر 13 والیبال میکنند بازی فوتبال فقط نفر چند کالس این در مطلوب ندارند. عالقه هیچکدام به نفر 6 و ورزش به نفر 4 و دارند عالقه موسیقی به نفر دانشآموز 1 نفر 37 با کالسی 3 در 030 که: دانشآموزانی تعداد است دارند. عالقه ورزش به هم و موسیقی به هم الف( دارند. عالقه ورزش به فقط ب( دارند. عالقه موسیقی به فقط یا ورزش به فقط ج( هب نمیخوانند. را مجله دو از هیچیک نفر 1 و B مجله نفر 45 و A مجله نفر اولی 30 سال دانشآموز 80 از مدرسه یک 3 در 131 دهید. پاسخ زیر سؤاالت میخوانند را مجله دو هر نفر چند الف( میخوانند را A مجله فقط نفر چند ب( میخوانند را مجله یک فقط نفر چند ج( میخوانند را مجله یک دستکم نفر چند د( میخوانند را مجله یک حداکثر نفر چند ه( 9 اگر گرفتهاند. 0 نمرة زیستشناسی در نفر 9 و فیزیک در نفر 14 شیمی در نفر 1 دانشآموز نفر 30 با کالس یک 33 در زیستشناسی در هم و فیزیک در هم نیز نفر 5 و زیستشناسی در هم و شیمی در هم نفر 7 فیزیک در هم و شیمی در هم نفر گرفتهاند 0 درس سه هر در نفر چند آنگاه نگرفتهاند 0 درسها این از هیچیک در نفر 1 بدانیم و باشند گرفته 0 نمره رفن 18 است: ازاینقرار تعدادشان کنید. پیدا میتوانید علم به عالقهمند نفر چند بگردید خوب اگر اول پایه در 3333 ظاهرا هب مه نفر 9 اینکه عجیبتر نکته زیستشناسی. به عالقهمند نفر 14 و ریاضی به عالقهمند نفر 1 فیزیک به عالقهمند ریاضی و زیست به عالقهمندان تعداد حال فیزیک. و زیست به عالقهمند هم نفر 6 هستند عالقهمند ریاضی به هم و فیزیک چطور شاخه سه هر به عالقهمندان بود خواهند نفر چند حداکثر است. 5 و 4 و و و 3 ترتیب به C-B و C-A و B-A و B-C و A-B اعضای تعداد میدانیم C و B و A مجموعه سه 3434 برای آورید. دست به را A-C اعضای تعداد مورد و کرده انتخاب تصادفی بهطور را خودروها از تا 100 مشتریان به خودرو تحویل از قبل خودرو سازنده کارخانه 3535 یک خودرو 6 فرمان نقص خودرو 3 فنی نقص فاقد خودرو 4 از میشود مالحظه بررسی این در میدهد. قرار فنی بازدید چراغ نقص خودرو 1 و موتور و فرمان نقص خودرو 10 چراغ و فرمان نقص خودرو 9 موتور نقص خودرو 3 چراغ نقص دارند. موتور و کنید. مشخص دارند را نقص سه هر که خودروهایی تعداد الف( بیابید. دارند نقص یک فقط که را خودروهایی تعداد ب( دنباله مسائل بنویسید. را است شده داده آنها عمومی جملة که زیر دنبالههای از هریک اول جملة 3636 چهار 38

36 an n = n 1 n ) ج an = 3 n ) ب an = n n + 1 الف( ( 1( n a n = n است آن چهاردهم جملة برابر چند عمومی جملة با دنبالهای پنجم جملة کنید. پیشنهاد دادهشده دنبالههای از هریک برای عمومی جملة 3838 یک , 4, 9, 16,...) پ 1,,,,... ب( الف( , 99, 999, 9999,...) ث,,,,... ت( الف( بزنید. حدس را nا م مرحلة در بهکاررفته چوبکبریتهای تعداد زیر شکلهای از هریک 3939 در ب( پ( بزنید. حدس را مرحله هر در بهکاررفته توپهای تعداد عمومی جملة زیر شکل 4 در 040 n 4n است 3 عدد an = دنبالة چندم 4141 جملة n

37 آورید. دست به را هفتم و پنجم جمالت گردد محاسبه n رابطةn+1 از ا م ( n + )1 جملة دنباله یک در 44 اگر n بنویسید. را a n دنبالة هفدهم و هشتم پنجم جمالت a +n = n + 5 بدانیم اگر بنویسید. را دنباله اول جملة پنج مورد هر در است. شده داده بازگشتی دنبالة یک قسمت هر 4444 در a1= 1, a= an 1+ 3 ( n () ب a1= a =, an = an 1+ an ( n 3 الف() ار کشو داخل پول از نیمی هفته آخر تا و میدهد قرار خود میز کشوی در و میگیرد پولتوجیبی تومان 1600 هفته اول 4545 رضا پول چقدر دوم هفتة پایان در دارد کشو در پول چقدر اول هفتة پایان در رضا نباشد کشو در پولی قبل از اگر میکند. خرج نظر در دنباله یک بهصورت را هفته هر پایان در رضا پولهای دارد کشو در پول چقدر سوم هفتة پایان در دارد کشو در دارد وجود رابطهای چه دنباله این ا م ( n )1+ و nا م جملة بین بنویسید. را دنباله این اول جملة چهار و بگیرید 1 a n = دنبالة اول جملة مجموع n+ 1+ n 1 آورید. دست به را a n = 4747 nn ( + 1( دنبالة اول جملة 0 مجموع ار دنباله هر عمومی جملة سپس و باشد حسابی دنبالة یک میتواند زیر دنبالههای از کدامیک کنید مشخص دلیل ذکر 4848 با بنویسید 15, 18, 1, 4,... ) ب ,,,,, الف( ,,,... ) ت 0, 3, 3, 3 3, 4 3,... پ( است حسابی دنباله درصورتیکه است حسابی دنبالة یک به متعلق دادهشده عمومی جملة آیا کنید مشخص مورد هر 4949 در کنید. تعیین را قدرنسبت 1 an = + n) ب an = 3n الف( n a n = 1 n ) ت a n = 5 + n پ( است: حسابی دنباله یک روبهرو دنبالة بدانیم 5 اگر 0 کنید. مشخص را دنباله عمومی جملة الف( کنید. مشخص را بیستم جملة ب( است دنباله این چندم جملة 1393 عدد پ( است دنباله این به متعلق 10 عدد آیا ت( 7 حسابی 3 دنبالة یک عمومی 5151 جملة = n بیابید. را دنباله این قدرنسبت است. an کنید. مشخص n برحسب را دنباله این عمومی جملة. a 1 = و 4 an+ 1 = an + 3 داریم دنبالهای 55 در او به معالج پزشک عمل از بعد کند. عمل را خود زانوی میشود مجبور و میبیند صدمه بازی هنگام در فوتبال بازیکن 5353 یک دویدن زمان هنگامیکه کند. اضافه خود دویدن زمان به دقیقه 3 هفته هر و دقیقه 1 روزی اول هفتة در که میدهد پیشنهاد کند. بازی خود تیم برای میتواند هفته چند از بعد کنید مشخص و کند بازی خود تیم برای میتواند برسد دقیقه 138 به او شروع در ماشین این است. کرمان شهر از شدن دور حال در و میکند حرکت کیلومتربرساعت 70 ثابت سرعت با 5454 ماشینی این فاصله عمومی جملة است چقدر ساعت 9 از پس کرمان از ماشین این فاصله دارد. فاصله کرمان از کیلومتر 15 حرکت 40

38 ماشین از شهر کرمان را برحسب بنویسید شیر آبی در هر دقیقه 3/5 لیتر آب وارد حوض میکند. اگر این حوض آب ابتدا 5 لیتر آب داشته باشد مقدار آب حوض پس از گذشت چند دقیقه 10 لیتر میشود 5656 شمعی که دارای ارتفاع 5 سانتیمتر است را روشن کردهایم. اگر بدانیم این شمع در هر دقیقه میلیلیتر کوتاه میشود: الف( بعد از گذشت چه مدت زمانی طول شمع 17 سانتیمتر خواهد شد ب( بعد از گذشت چه زمانی شمع کامال آب خواهد شد 5757 در یک دنبالة حسابی جملة هشتم برابر 31 و جملة یازدهم برابر 43 است. قدرنسبت و جملة پنجم را حساب کنید جملة هفتم یک دنبالة حسابی 31 و جملة نوزدهم آن 79 است. جملة بیست و پنجم آن را بیابید الف( اگر جمالت یک دنبالة حسابی را با یک عدد ثابت جمع کنیم آیا دنبالة جدید نیز حسابی خواهد بود در صورت مثبت بودن پاسخ قدرنسبت دنبالة جدید چه رابطهای با قدرنسبت دنبالة اولیه دارد ب( اگر جمالت یک دنبالة حسابی را در یک عدد ثابت ضرب کنیم آیا دنبالة جدید نیز حسابی خواهد بود در صورت مثبت بودن پاسخ قدرنسبت دنبالة جدید چه رابطهای با قدرنسبت دنبالة اولیه دارد پ( اگر جمالت یک دنبالة حسابی را به توان برسانیم آیا دنبالة جدید نیز حسابی خواهد بود در صورت مثبت بودن پاسخ قدرنسبت دنبالة جدید چه رابطهای با قدرنسبت دنبالة اولیه دارد 6 بین 060 دو عدد 1 و 39 پنج عدد قرار دهید که این 7 عدد تشکیل دنبالة حسابی دهند )دنباله صعودی است.( 1 x, + x, 1+ x 6 دنبالة 161 زیر به ازای چه مقادیری از x یک دنبالة حسابی خواهد بود a 1, a 11, 35 6 a, اگر دنبالة روبهرو یک دنبالة حسابی باشد جملة دهم آن را بیابید اگر زوایای مثلثی باهم تشکیل یک دنبالة حسابی دهند اندازة زاویة متوسط را بیابید مجموع 3 عدد که تشکیل دنبالة حسابی میدهند 1 و حاصلضرب آنها 31 است. این سه عدد را بیابید دریک مثلث قائمالزاویه طول اضالع تشکیل دنبالة حسابی میدهند. اگر محیط آن 48 باشد اندازة اضالع را به دست آورید. 6 در 666 مثلث قائمالزاویهای که طول اضالع آن دنبالة حسابی تشکیل میدهند: الف( اگر طول ضلع کوچکتر 1 سانتیمتر باشد طول بقیة اضالع را حساب کنید. ب( اگر طول ضلع کوچکتر a باشد طول بقیة اضالع را برحسب a حساب کنید در یک دنبالة حسابی تعداد جمالت 5 و مجموع این جمالت 35 و مجموع مربعات آنها 495 است. این دنباله را مشخص کنید در یک دنبالة حسابی مجموع جمالت پنجم و دوازدهم برابر 17 است. مجموع جمالت هفتم و دهم چقدر است 6 مجموع 969 جمالت ششم هشتم چهاردهم و شانزدهم یک دنبالة حسابی برابر 18 است. جملة یازدهم این دنباله را به دست آورید. 7 مجموع 070 بیست جملة اول یک دنبالة حسابی با قدرنسبت 7 چقدر از مجموع بیست جملة دوم آن کمتر است 41